«Хотя бы один» в задачах ЕГЭ: решение через противоположное событие
Слова «хотя бы один» в условии задачи на вероятность пугают многих выпускников. Кажется, что нужно перебрать все варианты: попал один раз, два раза, три раза, и каждый посчитать отдельно. Это долго, и в переборе легко что-то пропустить. Есть короткий путь: посчитать вероятность того, что не произошло ничего, и вычесть её из единицы.
Формула противоположного события
Противоположное событие наступает тогда и только тогда, когда не наступает исходное. Их вероятности в сумме дают 1, поэтому:
P(не A) = 1 − P(A).
Событие «хотя бы раз попал» противоположно событию «ни разу не попал». А вероятность «ни разу» обычно находится одним умножением.
Разбор на примере
Баскетболист попадает штрафной бросок с вероятностью 0,8, броски независимы. Он бросает три раза. Какова вероятность, что он попадёт хотя бы один раз?
Длинный путь: сложить вероятности ровно одного, ровно двух и ровно трёх попаданий. Короткий путь:
- Вероятность промаха: 1 − 0,8 = 0,2.
- Вероятность трёх промахов подряд по теореме умножения: 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008.
- Вероятность хотя бы одного попадания: 1 − 0,008 = 0,992.
Три строки вместо перебора. Умножать здесь можно, потому что броски независимы: результат одного не меняет вероятность другого.
Когда приём подходит, а когда нет
| Ситуация | Что делать |
|---|---|
| «хотя бы один», «хотя бы раз» | считать через «ни одного» |
| «ровно два из трёх» | перебирать подходящие варианты |
| «все три» | сразу умножать вероятности |
| выбор без возвращения | учитывать, что после первого выбора меняется число оставшихся |
Ошибки, которые встречаются
ФИПИ среди типичных ошибок называет путаницу искомого события с обратным. В задачах с противоположным событием это видно особенно часто: посчитали «ни разу», а вычесть из единицы забыли. Перед записью ответа перечитайте вопрос и сравните его с тем, что получилось.
Вторая ловушка: перемножать вероятности так, будто события не влияют друг на друга, когда они влияют. Это случается при выборе двух предметов без возвращения.
Где такие задачи встречаются в варианте 2027 года и как устроены остальные задания на вероятность, рассказано здесь: https://www.om1.ru/news/world/438355-teorija_verojatnostejj_v_egeh_po_profilnojj_matematike_2027/
Частые вопросы
В каком задании ЕГЭ пригодится этот приём? Чаще всего в задании 5 на сложные события, где решение строят на теоремах сложения и умножения.
Можно ли получить ответ больше 1? Нет. Вероятность лежит от 0 до 1, иначе в решении ошибка.
Нужно ли писать решение? Нет, задания на вероятность в первой части: в бланк записывают только ответ.
Как понять, что события независимы? События независимы, когда наступление одного не меняет вероятность другого, как результаты отдельных бросков или выстрелов.